Рефераты по точным наукам

Понятие формы изображения призвано охарактеризовать форму изображенных объектов в терминах характерности изображений, инвариантных относительно определенного класса преобразований изображения, моделирующих меняющиеся условия его регистрации. Например, довольно часто может меняться освещение сцены, в частности, при практически неизменном спектральном составе может радикально изменяться распределение интенсивности освещения сцены. Такие изменения освещения в формуле (2**) выражаются преобразованием , в котором множитель k(x) модулирует яркость изображения в каждой точке при неизменном распределении цвета. При этом в каждой точке у вектора f (x) может измениться длина, но направление останется неизменным.

Нередко изменение распределения интенсивности освещения сопровождается значительным изменением и его спектрального состава, но - пространственно однородным, одним и тем же в пределах всей изображаемой сцены. Поскольку между спектром излучения e и цветом j нет взаимно однозначного соответствия, модель сопутствующего преобразования изображения f (x) в терминах преобразования его цвета j ( × ). Для этого определим отображение A ( × ): , ставящее в соответствие каждому вектору цвета подмножество поля зрения в точках которого изображение , имеет постоянный цвет .

Пусть при рассматриваемом изменении освещения и, соответственно, ; предлагаемая модель преобразования изображения состоит в том, что цвет преобразованного изображения должен быть также постоянным на каждом множестве A ( j ), хотя, вообще говоря, - другим, отличным от j . Характекрным в данном случае является тот факт, что равенство влечет . Если - самое детальное изображение сцены, то, вообще говоря, на различных множествах A ( j ¢ ) и A ( j ) цвет изображения может оказаться одинаковым.

Как правило, следует учитывать непостоянство оптических характеристик сцены и т.д. Во всех случаях форма изображения должна быть инвариантна относительно преобразования из выделенного класса и, более того, должна определять изображение с точностью до произвольного преобразования из этого класса.

Для определения понятия формы цветного изображения f ( × ) на удобно ввести частичный порядок p , т.е. бинарное отношение, удовлетворяющее условиям: 1) , 2) , , то , ; отношение p должно быть согласованным с определением цветного изображения (с условием физичности), а именно, , если . Отношение p интерпретируется аналогично тому, как это принято в черно-белой морфологии[2], а именно, означает, что изображения f  и g  сравнимы по форме, причем форма g  не сложнее, чем форма f  . Если и , то f  и g  назовем совпадающими по форме (изоморфными), f  _~ g  . Например, если f  и g  - изображения одной и той же сцены, то g  , грубо говоря, характеризует форму изображенных объектов не точнее (подробнее, детальнее), чем f  , если .

В рассматриваемом выше примере преобразования изображений  если между множествами A ( j ), и A ¢ ( j ¢ ), существует взаимно-однозначное соответствие, т.е., если существует функция , такая, что A ¢ ( j ¢ ( j ))= A ( j ), , причем , если . В этом случае равенства и эквивалентны, и изоморфны и одинаково детально характеризуют сцену, хотя и в разных цветах.

Если же не взаимно однозначно, то A ¢ ( j ¢ )= U A ( j ) и . В этом случае равенство влечет (но не эквивалентно) , передает, вообще говоря, не все детали сцены, представленные в .

Пусть, скажем, g  - черно-белый вариант f  , т.е. g(x)=f(x) и g (x)/g(x)= b , x Î X . Если преобразование - следствие изменившихся условий регистрации изображения, то, естественно, . Аналогично, если f  g  изображения одной и той же сцены, но в g  вследствие неисправности выходные сигналы некоторых датчиков равны нулю, то . Пусть F - некоторая полугруппа преобразований , тогда для любого преобразования F Î F , поскольку, если некоторые детали формы объекта не отражены в изображении f , то они, тем более, не будут отражены в g .

Формой изображения f  назовем множество изображений , форма которых не сложнее, чем форма f` , и их пределов в (черта символизирует замыкание в ). Формой изображения f  в широком смысле назовем минимальное линейное подпространство , содержащее . Если считать, что для любого изображения , то это будет означать, что отношение p непрерывно относительно сходимости в в том смысле, что .

Рассмотрим теперь более подробно понятие формы для некоторых характерных классов изображений и их преобразований.

Лемма 3 . Пусть {А _i } - измеримое разбиение X: .

Изображение (3) имеет на каждом подмножестве A _i :

, [2]. И проектор можно отождествить с формой изображения (4*), как это сделано в работах [2,3].

Примечания.

Формы в широком смысле не определяются связью задач наилучшего приближения элементами и , которая известна как транзитивность проецирования. Именно, если оператор наилучшего в приближения злементами выпуклого замкнутого (в и в ) конуса , то . Иначе говоря, для определения наилучшего в приближения элементами можно вначале найти ортогональную проекцию изображения на , а затем спроецировать в на . При этом конечномерный проектор для каждого конкретного конуса может быть реализован методом динамического программирования, а для многих задач морфологического анализа изображений достаточным оказывается использование лишь проектора П .

Форма в широком смысле (4***) изображения (4) полностью определяется измеримым разложением , последнее, в свою очередь определяется изображением

если векторы попарно различны. Если при этом , то форма в широком смысле может быть определена и как оператор П ортогонального проецирования на , определенный равенством (13).

Посмотрим, каким образом воспользоваться этими фактами при построении формы в широком смысле как оператора ортогонального проецирования на линейное подпространство (10*) для произвольного изображения . Пусть - множество значений и - измеримое разбиение X , порожденное , в котором - подмножество X , в пределах которого изображение имеет постоянные яркость и цвет, определяемые вектором , если .

Однако для найденного разбиения условие , вообще говоря, невыполнимо и, следовательно, теорема 1 не позволяет построить ортогональный проектор П на . Покажем, что П можно получить как предел последовательности конечномерных ортогональных проекторов. Заметим вначале, что любое изображение можно представить в виде предела (в ) должным образом организованной последовательности мозаичных изображений

где - индикатор множества , принадлежащего измеримому разбиению

В (*) можно, например, использовать так называемую исчерпывающую последовательность разбиений [], удовлетворяющую следующим условиям

- - C - измеримо, ;

- N+1 -oe разбиение является продолжением N- го, т.е. для любого , найдется i=i(j), , такое, что ;

- минимальная s -алгебра, содержащая все , совпадает с C.

Лемма (*). Пусть - исчерпывающая последователь-ность разбиений X и - то множество из , которое содержит . Тогда для любой C-измеримой функции

Воспользуемся этим результатом для построения формы в широком смысле П произвольного изображения . Пусть - минимальная s -алгебра, относительно которой измеримо , т.е. пусть , где - прообраз борелевского множества , B - s -алгебра борелевских множеств . Заменим в условиях, определяющих исчерпывающую последовательность разбиений, C на и выберем эту, зависящую от , исчерпывающую последовательность ( - измеримых) разбиений в лемме (*).

Теорема (*). Пусть , - исчерпывающая последовательность разбиений X , причем - минимальная s - алгебра, содержащая все и П ^(N) - ортогональный проектор , определенный равенством ,

1) для любого - измеримого изображения и почти для всех , ,

2) для любого изображения при (в ), где П - ортогональный проектор на .

Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует из леммы (*) и определения . Для доказательства второго утверждения заметим, что, так как A ^(N+1) - продолжение разбиения A ^(N) , N=1,2,..., то последовательность проекторов П ^(N) , N=1,2,..., монотонно неубывает : и потому сходится (поточечно) к некоторому ортогональному проектору П. Так как - множество всех -измеримых изображений и их пределов (в ), а в силу леммы (*) для любого -измеримого изображения

, то для любого изображения и для любого , ибо -измеримо, N =1,2,... n

наилучшего в приближения изображения f изображениями имеет вид , где - индикаторная функция множества . Множество определено равенством (15). Нелинейный оператор , как всякий оператор наилучшего приближения удовлетворяет условию F ² =F, т.е. является пректором.

Замечание 2. Если данные задачи доступны лишь в черно-белом варианте, то есть заданы числа , i =1,...,q, которые можно считать упорядоченными согласно условию , то, как показано в [3], искомое разбиение X состоит из множеств

где , и имеет мало общего с разбиением (14).

Замечание 3. Выберем векторы f _i , i=1,..,q единичной длины: , i =1,...,q. Тогда

Множества (16) являются конусами в R _n , ограниченными гиперплоскостями, проходящими через начало координат. Отсюда следует, что соответствующее приближение изображения f  инвариантно относительно произвольного преобразования последнего, не изменяющего его цвет (например ), в частности, относительно образования теней на f  .

Замечание 4. Для любого заданного набора попарно различных векторов оператор F , приведенный в теореме 2, определяет форму изображения, принимающего значения соответственно на измеримых множествах (любого) разбиения X. Всякое такое изображение является неподвижной (в ) точкой F: , если , все они изоморфны между собой. Если некоторые множества из - пустые, или нулевой меры, соответствующие изображения имеют более простую форму.

Иначе говоря, в данном случае формой изображения является множество всех изображений, принимающих заданные значения на множествах положительной меры любого разбиения X, и их пределов в .

Теоремы 1 и 2 позволяют записать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f ( × ) изображениями , в котором требуется определить как векторы , так и множества так, чтобы

Следствие 1.

Пусть D _i , i=1,...,N, - подмножества R _n (15), П - ортогональный проектор (13), , где . Тогда необходимые и достаточные условия суть следующие : , где , .

Следующая рекуррентная процедура, полезная для уточнения приближений, получаемых в теоремах 1,2, в некоторых случаях позволяет решать названную задачу. Пусть - исходные векторы в задаче (14*), - соответствующее оптимальное разбиение (14), F ⁽¹⁾ - оператор наилучшего приближения и - невязка. Воспользовавшись теоремой 1, определим для найденного разбиения оптимальные векторы . Согласно выражению (13) , и соответствующий оператор наилучшего приближения П ⁽¹⁾ (13) обеспечит не менее точное приближение f ( × ) , чем F ⁽¹⁾ : . Выберем теперь в теореме 2 , определим соответствующее оптимальное разбиение и построим оператор наилучшего приближения F ⁽²⁾ . Тогда . На следующем шаге по разбиению строим и оператор П ⁽³⁾ и т.д.

В заключение этого пункта вернемся к вопросу о построении исчерпывающего -измеримого разбиения X, отвечающего заданной функции . Выберем произвольно попарно различные векторы из f (X) и построим по формуле (15) разбиение R _n . Для каждого q=1,2,... образуем разбиение E ^(N(q)) , множества , j=1,...,N(q) , которого образованы всеми попарно различными пересечениями множеств из . Последовательность соответствующих разбиений X , i=1,...,N(q), q=1,2... -измеримы и является продолжением

Лемма 4. Для любого изображения решение (24) задачи (18) наилучшего приближения единственно и является элементом .

Доказательство. Достаточно доказать, что единственный (с точностью до положительного множителя) собственный вектор f _i оператора (23), отвечающий максимальному собственному значению  _i , можно выбрать так, чтобы , поскольку в таком случае будут выполнены импликации:

,

составляющие содержание леммы. Действительно, если то согласно (23) , поскольку включение означает, что ; отсюда и из (25) получим, что , i=1,...,N, а поэтому и в (24) .

Убедимся в неотрицательности . В ортонормированном базисе e ₁ ,...,e _n , в котором , выходной сигнал i- го детектора в точке (см. замечание 1) задача на собственные значения (23*) имеет вид , p=1,...,n,

где , .

Так как матрица симметрическая и неотрицательно определенная ( ) она имеет n неотрицательных собственных значений , которым соответствуют n ортонормированных собственных векторов , а поскольку матричные элементы , то согласно теореме Фробенуса-Перрона максимальное собственное значение - алгебраически простое (некратное), а соответствующий собственный вектор можно выбирать неотрицательным:

. Следовательно, вектор f _i определен с точностью до положительного множителя , . n