Рефераты по точным наукам

Простые Числа Мерсенна, совершенные числа

Среди простых чисел особую роль играют простые числа Мерсенна - числа вида 1)М _р = 2 ^р -1 , где р - простое число. Они называются простыми числами Мерсенна по имени французского монаха Мерена Мерсенна (1588-1648), одного из основателей Парижской Академии наук, друга Декарта и Ферма. Так как М ₂ =3, М ₃ =7, М ₅ =31, М ₇ =127 , то это - простые числа Мерсенна. Однако, число 2)М ₁₁ =2047=23 ^. 89 простым не является. До 1750 года было найдено всего 8 простых чисел Мерсенна: М ₂ , М ₃ , М ₅ , М ₇ , М ₁₃ , М ₁₇ , М ₁₉ , М ₃₁ . То, что М ₃₁ - простое число, доказал в 1750 году Л. Эйлер. В 1876 году французский математик Эдуард Люка

установил, что число

3)М ₁₂₇ =170141183460469231731687303715884105727

- простое. В 1883 г. Сельский священник Пермской губернии И.М.Первушин без всяких вычислительных приборов доказал, что число М ₆₁ =2305843009213693951 является простым. Позднее было установлено, что числа М ₈₉ и М ₁₀₇ - простые. Использование ЭВМ позволило в 1952-1964 годах доказать, что числа М ₅₂₁ , М ₆₀₇ , М ₁₂₇₉ , М ₂₂₀₃ , М ₂₂₈₁ , М ₃₂₁₇ , М ₄₂₅₃ , М ₄₄₂₃ , М ₂₆₈₉ , М ₉₉₄₁ , М ₁₁₂₁₃ - простые. К настоящему времени известно уже более 30 простых чисел Мерсенна, одно из которых М ₂₁₆₀₉₁ имеет 65050 цифр. Большой интерес к простым числам Мерсенна вызван их тесной связью с совершенными числами.

Натуральное число Р называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей кроме Р .

Евклид доказал, что если р и 2 ^р -1 - простые числа, то число 4)Р _р =2 ^р-1 (2 ^р -1)=2 ^р-1 М _р является совершенным.

Действительно, делителями такого числа, включая само это число, являются 5)1,2, ... ,2 ^р-1 ,М _р ,2М _р , ... ,2 ^р-1 М _р .

Их сумма S _p =(1+2+ ... +2 ^р-1 )(М _р +1)=(2 ^р -1) ^. 2 ^р =2 ^. 2 ^р-1 М _р . Вычитая из S само число Р _р , убеждаемся, что сумма всех делителей числа Р _р равна этому числу, следовательно Р _р - совершенное число.

Числа Р ₂ =6 и Р ₃ =28 были известны ещё пифагорейцам. Числа Р ₅ =496 и Р ₇ =8128 нашел Евклид. Используя другие простые числа Мерсенна и формулу 4, находим следующие совершенные числа:

6)Р ₁₃ =33550336, Р ₁₇ =8589869056, Р ₁₉ =137438691328, Р ₃₁ =2305843008139952128.

Для всех остальных чисел Мерсенна числа Р _р имеют очень много цифр.

До сих пор остаётся загадкой, как Мерсенн смог высказать правильное утверждение, что числа Р _17, Р _19, Р ₃₁ являются совершенными. Позднее было обнаружено, что почти за сто лет до Мерсенна числа Р _17, Р ₁₉ нашел итальянский математик Катальди - профессор университетов Флоренции и Болоньи. Считалось, что божественное провидение предсказало своим избранникам правильные значения этих совершенных чисел. Если учесть, что ещё пифагорейцы считали первое совершенное число 6 символом души, что второе совершенное число 28 соответствовало числу членов многих учёных обществ, что даже в двенадцатом веке церковь учила: для спасения души достаточно изучать совершенные числа и тому, кто найдёт новое божественное совершенное число, уготовано вечное блаженство, то становится понятным исключительный интерес к этим числам.

Однако и с математической точки зрения чётные совершенные числа по-своему уникальны. Все они - треугольные. Сумма величин, обратных всем дилителям числа, включая само число, всегда равна двум. Остаток от деления совершенного числа, кроме 6, на 9 равен 1. В двоичной системе совершенное число Р _р начинается р единицами, потом следуют р-1 нулей. Например:

7)Р ₂ = 110, Р ₃ = 11100, Р ₅ = 111110000, Р ₇ =1111111000000 и т.д.

Последняя цифра чётного совершенного числа или 6, или 8, причём, если 8, то ей предшествует 2.

Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид 2 ^{р-1 .} М _р , где М _р -простое число Мерсенна. Однако до сих пор не найдено ни одного нечётного совершенного числа. Высказано предположение(Брайен Такхерман,США), что если такое число существует, то оно должно иметь не менее 36 знаков.

Рефераты по точным наукам